هندسه دایره

قضیه شعاع و خط مماس در دایره:

این گزاره در اصول اقلیدس (کتاب سوم، قضیه ۱۸) اثبات شده و بعدها به زبان حساب دیفرانسیل بازنویسی شد: مشتق معادله دایره در هر نقطه، شیب مماس را می‌دهد که دقیقاً بر شعاع عمود است. همین ایده پایهٔ تعریف «فضای مماس» در هندسه دیفرانسیل شد.

راهکار:

اثبات با برهان خلف: اگر شعاع بر مماس عمود نباشد، فاصله مرکز تا خط از شعاع کمتر می‌شود و خط در نقطهٔ دومی هم دایره را قطع می‌کند؛ پس مماس نیست. بازنویسی با شیب و معادلهٔ دایره هم همین نتیجه را می‌دهد.